Sebelum mempelajari materi ini sebaiknya pelajari dulu konsep dan materi dasar tentang program linear melalui link di bawah, karena di artikel ini admin sudah menjelaskan pengertian, prasyarat, dan langka penyelesaian step by step dari program linear 

        Program Linear Kelas XI | Materi, Contoh Soal, dan Pembahasan

Soal dan pembahasan menyelesaiakan masalah program linear Kelas XI SMA/MA

Masalah 1

Sebuah toko bangunan akan mengirim sekurang-kurangnya 2.400 batang besi dan 1.200 sak semen. Sebuah truk kecil dapat mengangkut 150 batang besi dan 100 sak semen dengan ongkos sekali jalan Rp80.000,00. Truk besar dapat mengangkut 300 batang besi dan 100 sak semen dengan ongkos sekali jalan Rp110.000,00. Tentukan biaya minimum yang dapat dikeluarkan untuk pengiriman tersebut

Penyelesaian

	Truk Kecil $(x)$	Truk Besar $(y)$	Total
Besi	150	300	2.400
Semen	100	100	1.200
Biaya	80.000	110.000

fungsi kendala

$($1$)$. $150x+300y \geq 2400$  

$($2$)$. $100x+100y \geq 1200$  

$($3$)$. $x \geq 0$

$($4$)$. $y \geq 0$

pertidakasmaan 1 dan 2 dapat disederhakan menjadi:

$($1$)$. $x+2y \geq 16$

$($2$)$. $x+y \geq 12$

 

keterangan: menggunakan tanda "$\geq$" pada pertidaksamaan 1 dan 2 karena yang diinginkan dalam soal yaitu "sekurang-kurangnya"

Fungsi Tujuan:

$f(x, y)=80.000x+110.000y$

Grafik

Titik Pojok: $A(16,0)$; $B(8, 4)$; $C(0,12)$

Catatan: Titik B bisa di cari dengan metode penyelesaian SPLDV, jika belum paham bisa pelajari link materi program linear di atas.

Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan

$A(16,0)$

$f(16, 0)=80.000 \times 16+110.000 \times 0=1.280.000$

$B(8, 4)$

$f(8, 4)=80.000 \times 8+110.000 \times 4=1.080.000$ $(minimum)$

$C(0, 12)$

$f(0, 12)=80.000 \times 0+110.000 \times 12=1.320.000$

Jadi, biaya minimum yang dapat dikeluarkan untuk pengiriman tersebut adalah Rp1.080.000 

     

Masalah 2

Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. Jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah ...

Penyelesaian

Model Matematika

Misal:

Banyak kue jenis I: x

Banyak kue jenis II: y

Fungsi kendala:

Tepung: $40x+20y \leq 6000$ 

Gula:  $30x+10y \leq 4000$

$x \geq 0$
$y \geq 0$

Fungsi Tujuan:

$f(x, y)=4.000x+1.600y$

Grafik:

Titik pojok: $A(\frac{400}{3}, 0)$; $B(100, 100)$; $C(0, 300)$; dan $O(0, 0)$

Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan

$A(\frac{400}{3}, 0)$

$A(\frac{400}{3}, 0)$ $= 4000 \times \frac{400}{3} + 1600 \times 0 = 533.333,33$

$B(100, 100)$

$f(100, 100)=4000 \times 100+1600 \times 100=560.000$

$C(0, 300)$

$f(0, 300)=4000 \times 0+1600 \times 300=480.000$

$C(0, 0)$

$f(0, 0)=4000 \times 0+1600 \times 0=0$

Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah Rp560.000,00.

Masalah 3

Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu menampung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp500.000,00, dan untuk kelas ekonomi Rp300.000,00, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah …

 

Penyelesaian

Misal:

Kelas Utama: x

Kelas ekonomi: y

Fungsi kendala

Kapasitas tempat duduk: $x+y \leq 60$

Kapasitas bagasi: $50x+20y \leq 1.500$

$x \leq 0$

$y \leq 0$

Fungsi tujuan:

$f(x,y)=500.000x+300.000y$

Grafik:

Subtitusi titik pojok ke fungsi tujuan:

1. $A(30,0)$ 

    $f(30,0)=500.000 \times 30+300.000 \times 0=15.000.000$

2. $B(10,50)$ 

    $f(10,50)=500.000 \times 10+300.000 \times 50=20.000.000$

3. $C(0,60)$ 

    $f(0,60)=500.000 \times 0+300.000 \times 60=18.000.000$

4.  $O(0,0)$ 

    $f(0,0)=500.000 \times 0+300.000 \times 0=0$

Jadi, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah Rp20.000.000,00

Masalah 4

Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar-kamar  hotel untuk satu malam. Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut-turut adalah Rp200.000,00    dan   Rp250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah . . .

Penyelesaian

misal

Kamar untuk 2 orang = $x$

kamar untuk 3 orang = $y$

Fungsi kendala

1.   $2x+3y \geq 240$

2.   $x+y \geq 100$

3.   $x \geq 0$

4.   $y \geq 0$

Fungsi tujuan

$f(x,y)=200.000x+250.000y$

grafik

Subtitusi titik pojok ke fungsi tujuan:

1. $A(120,0)$ 

   $f(120,0)=200.000 \times 120+250.000 \times 0=24.000.000$

2. $B(60,40)$ 

   $f(60,40)=200.000 \times 60+250.000 \times 40=22.000.000$

3. $C(0,100)$ 

   $f(0,100)=200.000 \times 0+250.000 \times 100=25.000.000$

Jadi, besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah Rp22.000.000,00.

Masalah 5

Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah …

 

Penyelesaian

misal

toko tipe A = $x$

toko tipe B = $y$

Fungsi kendala

1.  $100x+75y \leq 10.000$

2.  $x+y \leq 125$

3.  $x \geq 0$

4.  $y \geq 0$

Fungsi tujuan:

$f(x,y)=7.000.000x+4.000.000y$

Grafik

Subtitusi titik pojok ke fungsi tujuan:

1.  $A(100, 0)$

     $f(100, 0)=7.000.000 \times 100+4.000.000 \times 0=700.000.000$

2.  $B(25, 100)$

     $f(25, 100)=7.000.000 \times 25+4.000.000 \times 100=575.000.000$

3.  $C(0, 125)$

     $f(0, 125)=7.000.000 \times 0+4.000.000 \times 125=500.000.000$

4.  $O(0, 0)$

     $f(0, 0)=7.000.000 \times 0+4.000.000 \times 0=0$

      Jadi, Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah Rp575.000.000,00

Masalah 6

Sebuah Rombongan akan menonton pertunjukkan drama di sebuah gedung teater. Dalam rombongan tersebut terdapat paling sedikit 21 orang dewasa dan 20 anak-anak. Rombongan tersebut membawa uang Rp3.000.000,00. Harga tiket untuk orang dewasa Rp40.000.000,00. Harga tiket untuk anak-anak Rp30.000.000,00. Tentukan jumlah tiket pling banyak yang dapat dibeli rombongan tersebut.

Masalah 7

Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis II isinya 200 gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus pupuk jenis I. Pupk jenis II yang diperlukan lebih banyak daripada pupuk jenis I. Harga pupuk jenis I Rp40.000,00 per bungkus, jenis II Rp30.000,00 per bungkus. Berapa biaya pemupukan minimum yang dikeluarkan petani anggrek tersebut?

Masalah 8

Maya akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 10 buah. Mangga yang dibeli paling banyak 6 buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Jika ia hanya membawa uang 36.000,00, berapa apel paling banyak yang dapat ia beli?